?

Log in

No account? Create an account
Π α ρ α κ ά λ υ ψ ι ς [entries|archive|friends|userinfo]
Руслан Хазарзар

[ website | Сын Человеческий ]
[ userinfo | Профайл ]
[ archive | Архив ]

Логика: от Дунса Скота и Гёделя до Вассермана [окт. 24, 2009|01:24 am]
Руслан Хазарзар

Уже много лет по Сети гуляет фраза, что «любая система логических суждений является либо неполной, либо противоречивой», и что, «по Гёделю, полная система аксиом неизбежно противоречива». Не так давно на этот счет высказался Анатолий Вассерман:
http://khazarzar.livejournal.com/71462.html

По поводу того, что не любая система логических суждений является неполной, а только достаточно богатая, я по ссылке высказался. Меня заинтересовала возможность полной, но при этом именно противоречивой логической системы: по какому критерию определяется ее полнота, если отвергнут второй закон формальной логики?

Согласно определению «Словаря по логики» А. А. Ивина и А. Л. Никифорова (Москва, 1997, с. 270), «полнота в логике — это логико-методологическое требование, предъявляемое к аксиоматической теории и характеризующее достаточность для определенных целей ее выразительных и дедуктивных средств. Аксиоматическая система является полной, если все ее формулы, истинные при рассматриваемой интерпретации, доказуемы. Полная система содержит все возможные теоремы, не противоречащие интерпретации».

Теперь представим, что в некоторой непротиворечивой системе S имеется утверждение X, которое не может быть ни доказано, ни опровергнуто. Мы можем сменить аксиоматику, перейдя тем самым в другую непротиворечивую систему S', и доказать или опровергнуть утверждение X. Но, как известно, у нас возникнет как минимум одно другое утверждение X', которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть в системе S'. Изменяя аксиоматику и переходя в систему S'', мы неминуемо столкнемся с проблемами того же толка.

А что если в любую из этих систем ввести всего лишь одну аксиому N (см. по ссылке выше от igoretz), а именно: любое утверждение, не выводимое из предыдущих аксиом, является истинным. Тогда утверждение Xn в системе Sn у нас автоматически становится истинным, как и любое другое утверждение, не выводимое из предыдущих аксиом, — Yn, Zn и т. д.

А теперь представьте, что утверждения Xn и Yn сформулированы так, что Xn будет содержать утверждение об истинности утверждения Yn, а Yn будет содержать утверждение о ложности утверждения Xn. Утверждение Yn не выводимо из предыдущих аксиом, как и Xn, поскольку суть их природы одна и та же, и она не содержит в себе дополнительной информации, по которым мы могли бы вывести их истинность или ложность. Понятно, что в непротиворечивой системе одно из подобных утверждений (какое именно — неизвестно) должно быть ложно, но неопровержимо. Но в системе Sn любое утверждение, не выводимое из предыдущих аксиом, является истинным, а значит истинно как Xn, так и Yn.

Как тут не вспомнить парадокс Журдена, согласно которому на одной стороне карты написано: «Утверждение на другой стороне этой карты истинно»; а на другой: «Утверждение на другой стороне этой карты ложно»? Действительно, если первое утверждение истинно, то второе утверждение истинно (так как в первом утверждении говорится, что второе утверждение истинно). Следовательно, первое утверждение ложно (так как во втором утверждении говорится, что первое утверждение ложно). Если же первое утверждение ложно, то второе утверждение ложно. Следовательно, первое утверждение не ложно, а истинно. Таким образом, первое утверждение истинно в том и только в том случае, если оно ложно, а это невозможно.

Но это невозможно только в непротиворечивой системе. Введя аксиому, что любое утверждение, не выводимое из предыдущих аксиом, является истинным, мы никак не утверждаем, что система Sn — непротиворечива. Напротив, она противоречива и, вместе с тем, как бы «полна». Но, возвращаясь к началу, можно ли говорит о полноте противоречивой логической системы, и если да, то по какому критерию определять ее полноту?

Аксиома N как бы закрывает вопрос: проблема «решается» путем постулирования наличия решения. Но полной такую систему считать нельзя по нескольким причинам. Если вы вслед за Гегелем считаете, что «противоречие есть критерий истины» (Гегель Г. В. Ф. Работы разных лет. В 2 т. Т. 1. Москва, 1970. Стр. 265), и все еще ждете теорем и формализации вне второго закона формальной логики (как это делают диаматчики, умудряясь «сочетать» формализацию с гегелевской диалектикой, а значит, и с негласным отказом от первых трех законов формальной логики), то предлагаю вернуться к нашим картам. Только вместо «истинно — ложно» начертаем теперь «опровержимо — неопровержимо», а? К какой околесице можно прийти, «опровергая» два «истинных» (согласно аксиомы N) утверждения, можете разобраться сами. А заодно подумать, чтό произойдет, если всесокрушающее пушечное ядро попадет в несокрушимый столб?..

Чему-чему, а вот логике (как, впрочем, и казуистике) у схоластов можно поучиться. Так не будем же забывать закон Дунса Скота, что если принимаются высказывание и его отрицание, то, используя данные формулы в качестве схем вывода, можно получить любое высказывание. Поппер раскрывает этот закон весьма наглядно — из-за трудности передачи символики лучше смотрите здесь:
http://khazarzar.skeptik.net/books/dialekt2.htm

Конечно, мы можем отказаться от закона Дунса Скота и прибегнуть к паранепротиворечивой логике — в частности, релевантной. Но не следует забывать, что эта система решает не математические и даже не логические (в строгом смысле) задачи, а направлена на формализацию условного высказывания. Да и вообще, паранепротиворечивые логики — это «логики дискуссии», и они ближе не логике в классическом смысле (а тем более не математике), а эристике.

Что же касается собственно логики — желательно с математической строгостью формализации, — то никакой полной противоречивой системы мне пока неизвестно. Прежде всего потому, что, согласно определению «Словаря по логики» (там же), для полноты необходимо «требование, чтобы либо само предложение, либо его отрицание было теоремой, т. е. чтобы предложение было или доказуемо, или опровержимо». Но аксиома N «решает» проблему путем постулирования наличия решения — вне всяких теорем и формализации вообще. А главное: «Полная система содержит все возможные теоремы, не противоречащие интерпретации». Т. е., если в интерпретации системы есть противоречия, она по определению не полна. А теперь поинтерпретируйте с картами Журдена — даже с учетом аксиомы N...

Вразумительного ответа от Вассермана, увы, не последовало:
http://khazarzar.livejournal.com/71462.html?thread=716838#t716838

СсылкаОтветить

Comments:
[User Picture]From: student1981
2009-10-23 10:53 pm
У меня очень слабо было с формальной логикой(базовый университетский курс),но интуитивно я чувствую,что дело здесь в том,что объект или группа объектов,в том числе любой язык,не могут полностью рефлексировать себя так,чтобы КПД был равен единице.Язык не может себя полностью охарактеризовать,для этого понадобится мета-язык,а отсюда недалеко до проблемы Порочного круга(circulus vitiosus).В принципе,это и есть вся суть любого парадокса,например Парадокса Расселя.
Надеюсь,я смог более или менее объяснить то,что хотел сказать.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: khazarzar
2009-10-23 11:06 pm
Только не порочного круга, а ухода в дурную бесконечность.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: student1981
2009-10-23 11:09 pm
Порочный круг это нечто другое,или я просто не то название использовал?
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: khazarzar
2009-10-23 11:18 pm
Уход в регресс - это одно (общая проблема индукции и, в принципе, то, о чем вы говорили). Порочный круг - это другое. Это когда, исходя из допущения и немного проинтерпретировав, выдают за доказательство то, что, в принципе, было просто изначально допущено.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: student1981
2009-10-23 11:29 pm
Теперь понятно.
Спасибо.
(Ответить) (Parent) (Thread)
From: renivid
2009-10-24 11:40 am
Один из немногих ваших постов по логике/философии, который для меня оказался понятен без сверх-усилий :). Спасибо.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: khazarzar
2009-10-24 12:29 pm
И не поймешь, поругали ли, похвалили ли.:-)

Мне субъективно думается, что я пишу одинаково. Просто некоторые посты по философии трубуют некоторых знаний истории философии, а здесь - только знаний формальной системы. Хотя я и не думаю, что этот пост прост для человека, отдаленного от логики. Боюсь, что тот же Анатолий меня так и не понял:
http://khazarzar.livejournal.com/71462.html?thread=716838#t716838
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: igor_dzhadan
2009-12-15 08:32 am
==А что если в любую из этих систем ввести всего лишь одну аксиому N (см. по ссылке выше от igoretz), а именно: любое утверждение, не выводимое из предыдущих аксиом, является истинным. Тогда утверждение Xn в системе Sn у нас автоматически становится истинным, как и любое другое утверждение, не выводимое из предыдущих аксиом, — Yn, Zn и т. д.==

- В таком случае и ложные в рамках данной интерпретации утверждения, не выводимые из предыдущих аксиом, пришлось бы считать истинными. Таким образом, они оказались бы и истинными и ложными одновременно, а система вследствие такой неопределённости была бы заведомо не полна.
(Ответить) (Thread)
[User Picture]From: khazarzar
2009-12-15 09:58 am
Ответ тут один: система получается противоречивой. С моей точки зрения, противоречивая система полной быть не может по причине невозможности содержания в ней теорем, не противоречащих интерпретации.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: igor_dzhadan
2009-12-15 10:29 am
А разве теорема Геделя содержит утверждение , что противоречивая теория может быть полной? По моему, если память не изменяет , там говорится, что всякая рекурсивно-аксиоматизируемая теория, содержащая арифметику, неполна или противоречива. Но дизъюнкция "или" в этой формулировке слабая, а не сильная.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: khazarzar
2009-12-15 10:38 am
Вот я того же мнения. Но Вассерман считает иначе.
(Ответить) (Parent) (Thread)
[User Picture]From: igor_dzhadan
2009-12-15 11:58 am
Тут гораздо важнее, на мой взгляд, отдавать себе отчет в том, что в тех теориях, о которых говорит теорема Геделя, должно быть реализованным условие рекурсивной аксиоматизируемости, то есть из аксиом рекурсивным путём можно выводить новые. Если бы эта возможность отсутствовала, все истинные выражения теории можно было бы просто объявить один раз аксиомами, и усё: у нас получилась бы полная и непротиворечивая теория... Свойство рекурсивной аксиоматизируемости закрывает эту возможность, поскольку открывает дорогу для бесконечного рекурсивного порождения все новых и новых аксиом. Другими словами критическим условием для неполноты теории служит свойство рекурсии - бесконечного самопорождения выражений из выражений.
(Ответить) (Parent) (Thread)